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※宅配便発送で九州~関東までの区間は送料無料(沖縄離島除く)です!\r 詳細は【送料・配送方法】欄。\r\r●178cmロング幅ソファベッドです。\r●中央背もたれを倒すとカップホルダー付きミニテーブルに。\r●ミニクッションは肘置きとして利用出来るようマジックテープで固定可能。\r\r※ 数量限定特価:この商品は値引出来ません\r\r【商品の状態】\r・未使用品\r※出品ソファ以外の背景商品・撮影備品は含みません。\r※海上輸送を経た輸入品につき細かなシワ・スレ・小キズ等などはご容赦下さい。\r\r【サイズ(約/cm)】\r・ソファ時:幅178×奥行76×高76(座面高36)\r・ベッド時:幅178×奥行94×高36\r※曲線形状につき誤差はご容赦ください。\r\r【仕様】\r・材質:ファブリック、Sバネ、ウレタンフォーム、ウェービングベルト他\r・その他:完成品(脚の取付けは必要)、中国製、ミニクッション2個\r※脚とクッションはソファ底面ファスナー内に同梱\r\r【梱包・荷姿】\r・梱包「1」個口(ベッド状態で封入)\r\r【送料・配送方法】\r・九州(沖縄除く)~関東までの区間送料無料(東北・北海道・沖縄本島は別途お見積り)\r※一部離島・山間部は配達不可です。\r\r※家具専門配送業者での宅配便(玄関前・軒先渡し)発送になります(アパート等の階段2階より上は別途お見積り)。\r※お届け地域によっては配達対応していないエリアがあります。差し支えなければコメントにて「〇県〇市郡」程度までお知らせ下さい。\r(コメント無しでお届け地域が配達不可エリアだった場合はキャンセルとさせて頂きます)\r※配送業者との打合せに必要なため、ご落札後お電話番号をお伺いします。\r※大型商品のため、お届けに発送後7~14日程度掛かります。\r※時間指定はお受け出来ませんので、お受取り日に時間調整出来るよう対応をお願いします。\r※基本は配送業者との打ち合せ後配達となります。\r打合せ後の配達日にご不在の場合、再配達料(お客様ご負担)が掛かります。\r※追跡番号は発送後にご連絡。\r\r【注意事項】\r※発送は土日祝日以外の平日対応。即日発送は対応出来ませんのでご了承下さい。\r※プロフィール欄の記載内容も必ずご確認下さい。\r※ご不明な点はご質問下さい。
カテゴリー:インテリア・住まい・小物>>>ソファ/ソファベッド>>>ソファベッド
商品の状態:新品、未使用
配送料の負担:送料込み(出品者負担)
配送の方法:未定
発送元の地域:福岡県
発送までの日数:4~7日で発送

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数学 I の山場である二次関数。

特に最大値・最小値の問題は難しいですよね。

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まずは、定義域に全く制限がない二次関数の最大値・最小値を見ていきます。

 

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二次関数  の最大値・最小値を求めよ。

 

解答:

二次関数  のグラフは、 より、軸が直線 x = -1 で頂点が点 (-1, 2) の下に凸の放物線となります。

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また、y はいくらでも大きな値をとるため、アクセサリーケース ペアで収納できます。

 

例題:

二次関数 の最大値・最小値を求めよ。

 

解答:

二次関数  のグラフは、 より、軸が直線 x = 2 で頂点が点 (2,3) の上に凸の放物線となります。

グラフからわかるように、この関数は x = 2 のとき最大値 3 をとります

また、y はいくらでも小さな値をとるため、最小値は存在しません

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次に、定義域が制限されている二次関数の最大値・最小値を調べます。

 

例題:

二次関数  において、定義域が次の場合の最大値と最小値を求めよ。

またそのときの x の値を求めよ。

(1)

(2)

 

解答:

与えられた二次関数は と変形できます。

(1) におけるこの関数のグラフは、下図の放物線の緑線部分です。

よって、

x = 3 のとき最大値 13

x = =1 のとき最小値 -3

となります。

 

(2) におけるこの関数のグラフは、下図の放物線の緑線部分です。

よって、

x = 4 のとき最大値 22

x = 2 のとき最小値 6

となります。

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これまでは、二次関数・定義域共に文字を含んでいませんでした。

次は定義域に文字を含む場合の最大値・最小値を考えます。

ここから難易度アップ! じっくり読んでいきましょう。

 

例題:

のとき、二次関数   の最小値を求めよ。

 

解答:

のグラフは、頂点が点 (2, 2) 、軸が直線 x = 2 の下に凸の放物線です。

しかし、a の値によって、 の範囲にグラフの頂点が含まれることもあれば、含まれないこともあるのです。

そこで、a の値によって次のように場合分けしてみましょう。

 

(i)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a のとき最小値  となります。

(ii)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = 2 のとき最小値 2 となります。

 

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のとき x = a で最小値

のとき x = 2 で最小値 2

が答えです。

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次は、定義域ではなく関数自体(特に軸)に文字を含む場合について考えます。

 

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のとき、二次関数    の最小値を求めよ。

 

解答:

のグラフは、頂点が点 (a, 2) 、軸が直線 x = a の下に凸の放物線です。

ただし、a の値によって の範囲に頂点が含まれるか否かが変わります。

そこで、ここでも a の値によって次のように場合分けしましょう。

 

(i)  のとき

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したがって、x = a のとき最小値 2 となります。

(ii)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = 2 のとき最小値  となります。

 

以上より、

のとき x = a で最小値 2

のとき x = 2 で最小値

となります。

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ここまで、二次関数の最大値・最小値について扱ってきました。

まとめとして、次の応用問題に挑戦してみましょう!

 

応用問題:

二次関数 における最大値・最小値と、そのときの x の値を求めよ。

 

解答:

この二次関数は

定義域の始点も終点も定まっていませんが、幅が 2 であることだけは確定しています。

これまでの問題と異なり、複雑な場合分けが必要です。

<最大値>

まずは最大値から考えていきましょう。

(i) a+1 < 2 つまり a < 1 のとき

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したがって、x = a で最大値  をとります。

(ii) a+1 = 2 つまり a = 1 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

区間 の中心 x = a + 1 と二次関数のグラフの軸の方程式 x = 2 が一致しているので、区間の両端で y は同じ値となるのです。

したがって、x = 1, 3 で最大値 3 をとります。

(iii) a+1 > 2 つまり a > 1 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a+2 のとき最大値  をとります。

<最小値>

次に最小値です。

(i) a+2 < 2 つまり a < 0 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a+2 で最小値  をとります。

(ii) つまり  のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

定義域内にグラフの頂点が含まれているので、文句なしでそこが最小点になります。

したがって、x = 2 で最小値 2 をとります。

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したがって、x = a で最小値  をとります。

 

以上をまとめると、応用問題の答えは次のようになります:

<最大値>

  • a < 1 のとき、x = a で最大値
  • a = 1 のとき、x = 1, 3 で最大値 3
  • a > 1 のとき、x = a+2 で最大値

<最小値>

  • a < 0 のとき、x = a+2 で最小値
  •  のとき、x = 2 で最小値 2
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特に重要なポイントを列挙すると次のようになります。

  • 定義域に制限がなくても、最大値・最小値の双方が存在するとは限らない。
  • 定義域に制限がある場合は、「定義域の端点」「頂点」に着目する。
  • 定義域の端点と軸の距離に注意する。

 

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なぜ場合分けをしなければいけないのか。

場合分けの境界値はどうなるのか。

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