定番のお歳暮
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1000引き適用N.A様専用。 - by , 2022-10-22
4/ 5stars
新車時に純正と交換して納車したので比較はできませんが、十分な音を出していると思います。
【基礎化粧品セット】化粧水*美容液*乳液*ピュアローション*エッセンス*クリーム - by , 2022-08-04
5/ 5stars
かなりさっぱりしています。フィラデルフィアやキリに比べると物足りない。風味も少ない。この形状は個人的には好みです。使いやすい。
【 専用 】 - by , 2022-10-20
3/ 5stars
今日届いたばかりで今回届いた物は食べていないのですが、友人が働いているお店で使っているのがこちらのソースで、とっても美味しいので今回購入しました。 お店の味が家で再現できます。 もともとは、「ジャージャー麺は甘ったるいだけ」の印象で、好きではなかったのですが、こちらのソースを食べたらちょっとピリ辛で大人向けな感じで、とっても美味しくて気に入ってます。 逆に言えば、小さな子どもさんにはちょっと辛いかも?の印象があるソースです。
ドルガバ クリスマスコフレ 2020 - by , 2022-11-03
5/ 5stars
おいしいです。濃厚です。でも、価格に釣り合うほどの特別感はありません。1個に400円以上も出す価値はないように感じます。
Rene-Cell韓国ルネセル 基礎化粧品5種セット - by , 2022-10-27
4/ 5stars
エルゴでは1人でおんぶする際に子供を落としそうで怖いという妻の悩みを解消してくれそうな、おんぶに特化した「セオッテ」を購入する事に決めました! 早く届いて妻の助けになって欲しいです!
kanaさま専用 - by , 2022-11-01
5/ 5stars
本当に美味しいです。 届いたその日に追加のリピしました。
フラコラ ヒト幹細胞エクソソーム原液 DR 30ml - by , 2022-10-13
4/ 5stars
届きました!まだ売られてるたい焼きには程遠いですが、作ってたべました、楽しいですね! 買って良かったです!
ルビーセル 4Uアンプル 10本 - by , 2022-10-30
5/ 5stars
しっかりとした枝の苗木です。大分は今の時期でも、暖かいのか新芽が幾つかついていました。春になったら咲くのが今からたのしみです。
即完売脱毛器 - by , 2022-09-29
4/ 5stars
テレビの放送を見て注文しましたが、期待しすぎてがっかりしました。 油っこいのが好きな人はいいと思います。 2口程たべて冷蔵庫にそのままになってしまってます。
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ホンダ CB250R用のアクラポビッチのスリップオンマフラーです。使用期間約1年。目立った傷はありませんが使用感はありますのでご理解のある方のみお願いします。#CB250R#AKRAPOVIC#アクラポビッチ#スリップオン#マフラー
カテゴリー:自動車・オートバイ>>>オートバイパーツ>>>マフラー
商品の状態:目立った傷や汚れなし
配送料の負担:送料込み(出品者負担)
配送の方法:らくらくメルカリ便
発送元の地域:未定
発送までの日数:1~2日で発送

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数学 I の山場である二次関数。

特に最大値・最小値の問題は難しいですよね。

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二次関数をこれから勉強する人・勉強した人、全員必見です!

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まずは、定義域に全く制限がない二次関数の最大値・最小値を見ていきます。

 

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二次関数  の最大値・最小値を求めよ。

 

解答:

二次関数  のグラフは、 より、軸が直線 x = -1 で頂点が点 (-1, 2) の下に凸の放物線となります。

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また、y はいくらでも大きな値をとるため、ルイヴィトンモノグラムエクリプス キーポルバンドリエール45

 

例題:

二次関数 の最大値・最小値を求めよ。

 

解答:

二次関数  のグラフは、 より、軸が直線 x = 2 で頂点が点 (2,3) の上に凸の放物線となります。

グラフからわかるように、この関数は x = 2 のとき最大値 3 をとります

また、y はいくらでも小さな値をとるため、最小値は存在しません

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次に、定義域が制限されている二次関数の最大値・最小値を調べます。

 

例題:

二次関数  において、定義域が次の場合の最大値と最小値を求めよ。

またそのときの x の値を求めよ。

(1)

(2)

 

解答:

与えられた二次関数は と変形できます。

(1) におけるこの関数のグラフは、下図の放物線の緑線部分です。

よって、

x = 3 のとき最大値 13

x = =1 のとき最小値 -3

となります。

 

(2) におけるこの関数のグラフは、下図の放物線の緑線部分です。

よって、

x = 4 のとき最大値 22

x = 2 のとき最小値 6

となります。

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これまでは、二次関数・定義域共に文字を含んでいませんでした。

次は定義域に文字を含む場合の最大値・最小値を考えます。

ここから難易度アップ! じっくり読んでいきましょう。

 

例題:

のとき、二次関数   の最小値を求めよ。

 

解答:

のグラフは、頂点が点 (2, 2) 、軸が直線 x = 2 の下に凸の放物線です。

しかし、a の値によって、 の範囲にグラフの頂点が含まれることもあれば、含まれないこともあるのです。

そこで、a の値によって次のように場合分けしてみましょう。

 

(i)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a のとき最小値  となります。

(ii)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = 2 のとき最小値 2 となります。

 

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のとき x = a で最小値

のとき x = 2 で最小値 2

が答えです。

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次は、定義域ではなく関数自体(特に軸)に文字を含む場合について考えます。

 

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のとき、二次関数    の最小値を求めよ。

 

解答:

のグラフは、頂点が点 (a, 2) 、軸が直線 x = a の下に凸の放物線です。

ただし、a の値によって の範囲に頂点が含まれるか否かが変わります。

そこで、ここでも a の値によって次のように場合分けしましょう。

 

(i)  のとき

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したがって、x = a のとき最小値 2 となります。

(ii)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = 2 のとき最小値  となります。

 

以上より、

のとき x = a で最小値 2

のとき x = 2 で最小値

となります。

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ここまで、二次関数の最大値・最小値について扱ってきました。

まとめとして、次の応用問題に挑戦してみましょう!

 

応用問題:

二次関数 における最大値・最小値と、そのときの x の値を求めよ。

 

解答:

この二次関数は

定義域の始点も終点も定まっていませんが、幅が 2 であることだけは確定しています。

これまでの問題と異なり、複雑な場合分けが必要です。

<最大値>

まずは最大値から考えていきましょう。

(i) a+1 < 2 つまり a < 1 のとき

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したがって、x = a で最大値  をとります。

(ii) a+1 = 2 つまり a = 1 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

区間 の中心 x = a + 1 と二次関数のグラフの軸の方程式 x = 2 が一致しているので、区間の両端で y は同じ値となるのです。

したがって、x = 1, 3 で最大値 3 をとります。

(iii) a+1 > 2 つまり a > 1 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a+2 のとき最大値  をとります。

<最小値>

次に最小値です。

(i) a+2 < 2 つまり a < 0 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a+2 で最小値  をとります。

(ii) つまり  のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

定義域内にグラフの頂点が含まれているので、文句なしでそこが最小点になります。

したがって、x = 2 で最小値 2 をとります。

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ネツレン O形片口スパナ110 J0110 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a で最小値  をとります。

 

以上をまとめると、応用問題の答えは次のようになります:

<最大値>

  • a < 1 のとき、x = a で最大値
  • a = 1 のとき、x = 1, 3 で最大値 3
  • a > 1 のとき、x = a+2 で最大値

<最小値>

  • a < 0 のとき、x = a+2 で最小値
  •  のとき、x = 2 で最小値 2
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特に重要なポイントを列挙すると次のようになります。

  • 定義域に制限がなくても、最大値・最小値の双方が存在するとは限らない。
  • 定義域に制限がある場合は、「定義域の端点」「頂点」に着目する。
  • 定義域の端点と軸の距離に注意する。

 

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なぜ場合分けをしなければいけないのか。

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