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みか様専用☆ - by , 2022-10-22
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もう少しアーモンドに飴が掛かって、アメ感が強くなった方が良いと感じられました。
ミッションUVプリベンダーEX×3本 - by , 2022-08-04
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とにかく軽くて使いやすいです。レザー感はいまいちです。値段が値段だけにそれなりです。おまけの袋も小物や携帯の充電器入れに使えそうです。
【限定☆DIOR】サンククルールクチュール☆アイシャドウ☆MISS DIOR - by , 2022-10-20
4/ 5stars
4万円ー5万くらいで 光沢つきの液晶が購入できたのでやかったですが、色合いや明るさは特に問題ないものでした。ドット欠けなどもなく状態もよいものです。ゲームをしてもとくに画面が遅くなるようなこともないですし、オンライン対戦ゲームでも使えるものです。
2個セット!ホワイトピールセラム - by , 2022-11-03
5/ 5stars
毎回美味しくいただいています。ニンニクが国産になるといいのですが…。
新品未開封 ランコム ジェニフィック アドバンストN 50ml (美容液) - by , 2022-10-27
4/ 5stars
今回お安くなっていたので購入しました! ホワイトを購入しましたが、ピカピカの真っ白でとても気に入りました! 矢印がかわいいです!
ラルチザンパフューム 7ml x 4本 - by , 2022-11-01
5/ 5stars
4年、2年のお兄ちゃん達のランドセルよりも横幅が広くて教科書だけでなく、資料やファイルも曲がって窮屈な思いをせずに楽々入りました。 3男も自分専用のランドセルが届きとても喜んでいました。 4月に背負って登校していく日が今から待ち遠しく思います。 ありがとうございました。
あなたもヒプノセラピストになれる!?ヒプノセラピスト養成 非売品 - by , 2022-10-13
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自分の結婚式で娘が着るドレスに合わせる衣装として購入しました。 白のドレスに合ってとても可愛らしいです。 主人曰わくドレスよりジャケットが印象いいそうです。 結婚式に着せるのが楽しみです。
(OT-11133)シーホネンス サイドテーブル K-4000M - by , 2022-10-30
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比較的安く、配送して頂けるのが良くて買いました。 商品には「丈夫で清潔、サビにくい」との紙が貼ってありました。 しかし、到着した時点で既にサビていて、へこみも何箇所もありました。 とても残念です。 返品したいところですが配達の二度手間は面倒なので諦めました。 もうこのお店は利用しないつもりです。
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【高さ】約42センチ【幅】 約40センチ【奥行】約21センチ【重さ】約13.5キロ都内のADA特約店にて購入した商品です。高さがあるので水深45センチの水槽なら水面から突き出すレイアウトも可能です。形も非常に良く90センチ以上の水槽にオススメ致します。※未使用品ではありますが商品の特性上一部欠けや擦れがありますことをご了承下さい。※リサイクルダンボールに梱包しての発送となります。※質問等ございましたらお気軽にコメントお願い致します。#大型水槽#親石
カテゴリー:その他>>>ペット用品>>>魚用品/水草
商品の状態:新品、未使用
配送料の負担:送料込み(出品者負担)
配送の方法:らくらくメルカリ便
発送元の地域:東京都
発送までの日数:2~3日で発送

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数学 I の山場である二次関数。

特に最大値・最小値の問題は難しいですよね。

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学校の授業や定期試験でつまづいてしまった人、試験ではなんとかなったけれど忘れちゃった人…

二次関数をこれから勉強する人・勉強した人、全員必見です!

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まずは、定義域に全く制限がない二次関数の最大値・最小値を見ていきます。

 

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二次関数  の最大値・最小値を求めよ。

 

解答:

二次関数  のグラフは、 より、軸が直線 x = -1 で頂点が点 (-1, 2) の下に凸の放物線となります。

くまアイスのハロウィンパフェ = -1 のときに最小値 2 をとります

また、y はいくらでも大きな値をとるため、【⠀ゆか様専用ページ 】

 

例題:

二次関数 の最大値・最小値を求めよ。

 

解答:

二次関数  のグラフは、 より、軸が直線 x = 2 で頂点が点 (2,3) の上に凸の放物線となります。

グラフからわかるように、この関数は x = 2 のとき最大値 3 をとります

また、y はいくらでも小さな値をとるため、最小値は存在しません

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次に、定義域が制限されている二次関数の最大値・最小値を調べます。

 

例題:

二次関数  において、定義域が次の場合の最大値と最小値を求めよ。

またそのときの x の値を求めよ。

(1)

(2)

 

解答:

与えられた二次関数は と変形できます。

(1) におけるこの関数のグラフは、下図の放物線の緑線部分です。

よって、

x = 3 のとき最大値 13

x = =1 のとき最小値 -3

となります。

 

(2) におけるこの関数のグラフは、下図の放物線の緑線部分です。

よって、

x = 4 のとき最大値 22

x = 2 のとき最小値 6

となります。

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これまでは、二次関数・定義域共に文字を含んでいませんでした。

次は定義域に文字を含む場合の最大値・最小値を考えます。

ここから難易度アップ! じっくり読んでいきましょう。

 

例題:

のとき、二次関数   の最小値を求めよ。

 

解答:

のグラフは、頂点が点 (2, 2) 、軸が直線 x = 2 の下に凸の放物線です。

しかし、a の値によって、 の範囲にグラフの頂点が含まれることもあれば、含まれないこともあるのです。

そこで、a の値によって次のように場合分けしてみましょう。

 

(i)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a のとき最小値  となります。

(ii)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = 2 のとき最小値 2 となります。

 

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のとき x = a で最小値

のとき x = 2 で最小値 2

が答えです。

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次は、定義域ではなく関数自体(特に軸)に文字を含む場合について考えます。

 

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のとき、二次関数    の最小値を求めよ。

 

解答:

のグラフは、頂点が点 (a, 2) 、軸が直線 x = a の下に凸の放物線です。

ただし、a の値によって の範囲に頂点が含まれるか否かが変わります。

そこで、ここでも a の値によって次のように場合分けしましょう。

 

(i)  のとき

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したがって、x = a のとき最小値 2 となります。

(ii)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = 2 のとき最小値  となります。

 

以上より、

のとき x = a で最小値 2

のとき x = 2 で最小値

となります。

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ここまで、二次関数の最大値・最小値について扱ってきました。

まとめとして、次の応用問題に挑戦してみましょう!

 

応用問題:

二次関数 における最大値・最小値と、そのときの x の値を求めよ。

 

解答:

この二次関数は

定義域の始点も終点も定まっていませんが、幅が 2 であることだけは確定しています。

これまでの問題と異なり、複雑な場合分けが必要です。

<最大値>

まずは最大値から考えていきましょう。

(i) a+1 < 2 つまり a < 1 のとき

このとき、CARL 強力パンチ NO122

したがって、x = a で最大値  をとります。

(ii) a+1 = 2 つまり a = 1 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

区間 の中心 x = a + 1 と二次関数のグラフの軸の方程式 x = 2 が一致しているので、区間の両端で y は同じ値となるのです。

したがって、x = 1, 3 で最大値 3 をとります。

(iii) a+1 > 2 つまり a > 1 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a+2 のとき最大値  をとります。

<最小値>

次に最小値です。

(i) a+2 < 2 つまり a < 0 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a+2 で最小値  をとります。

(ii) つまり  のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

定義域内にグラフの頂点が含まれているので、文句なしでそこが最小点になります。

したがって、x = 2 で最小値 2 をとります。

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トルマリン ルース 裸石 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a で最小値  をとります。

 

以上をまとめると、応用問題の答えは次のようになります:

<最大値>

  • a < 1 のとき、x = a で最大値
  • a = 1 のとき、x = 1, 3 で最大値 3
  • a > 1 のとき、x = a+2 で最大値

<最小値>

  • a < 0 のとき、x = a+2 で最小値
  •  のとき、x = 2 で最小値 2
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特に重要なポイントを列挙すると次のようになります。

  • 定義域に制限がなくても、最大値・最小値の双方が存在するとは限らない。
  • 定義域に制限がある場合は、「定義域の端点」「頂点」に着目する。
  • 定義域の端点と軸の距離に注意する。

 

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なぜ場合分けをしなければいけないのか。

場合分けの境界値はどうなるのか。

これらに注意して、問題を解いてみてください!

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