話題の行列
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REVISION セット - by , 2022-09-15
4/ 5stars
嫁さんが、娘の家にあるのを借りてきて使用したら、やたら気にいったようで即購入しました。ちょくちょく使っているみたいです。
感謝祭 POLA リンクルショット メディカルセラム N 20g - by , 2022-10-26
5/ 5stars
無難な白ロンパースを探していたので見つかって良かったです(^^) オムツ替えが楽なのでロンパース、オススメです♪
リッチェル シルバーカー サンポルテ EX - by , 2022-09-01
3/ 5stars
ランエボ専門の1冊のため、 知りたいことや情報が集約されているのでとても役に立ちました。 ランエボ オーナーさんには、ぜひお勧めしたい1品です。
ハダキララ - by , 2022-10-24
5/ 5stars
フライパンで作成しました。面倒くさがりの私は材料を一気に入れて中火でやりましたが、キャラメルが焦げることなく美味しく出来上がり大満足です。私の作成方法が悪いのか、あまりマッシュルームタイプの物がなかったような・・味は美味しかったので★4つです。キャラメルシュガー購入しようと思います。
mmsaさま専用 - by , 2022-08-18
4/ 5stars
174cm・63kgでLサイズを購入しました。 実はこのベスト、去年も購入しています。 気に入っていたので今年は別の色を購入しました。 普段着にひとつアクセントを加えたい方にオススメだと思います。
【☆早い者勝ち☆】シャワーチェア 介護椅子 6段階高さ調節可能 軽量 丈夫 - by , 2022-10-22
5/ 5stars
幼稚園や、学校の中で履く可愛らしいルームシューズを探していました。 今回、前から欲しかった色も入荷していたので、3足買いました。 まだ、下の子供が二人いますので沢山履きたいと思います。 商品は文句なしに可愛いらしいです。
ニューモ 75ml 未開封3本セット - by , 2022-08-04
4/ 5stars
らっぴんぐがよかった! 値段をかんがえるとそこそこだった
キャミレール プラセンタ 富士薬品 1箱60粒 5箱 現品限り 9月21日迄。 - by , 2022-10-20
5/ 5stars
着け心地もよく見た目もスッキリでサイズ感もちょうど良かったです。
ルビーセル・エアーブラシ - by , 2022-11-03
4/ 5stars
美味しいです。 乳児がのむのではなく我が家では大人がみんな飲んでいます。 コーヒーにもいれてもおいしいいですよ〜 牛乳は日持ちしないけれどこれなら非常食にもいい。 なによりおいしいです!
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かこ様専用となりますご確認宜しくお願い致します
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数学 I の山場である二次関数。

特に最大値・最小値の問題は難しいですよね。

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学校の授業や定期試験でつまづいてしまった人、試験ではなんとかなったけれど忘れちゃった人…

二次関数をこれから勉強する人・勉強した人、全員必見です!

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まずは、定義域に全く制限がない二次関数の最大値・最小値を見ていきます。

 

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二次関数  の最大値・最小値を求めよ。

 

解答:

二次関数  のグラフは、 より、軸が直線 x = -1 で頂点が点 (-1, 2) の下に凸の放物線となります。

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また、y はいくらでも大きな値をとるため、P[110532]テーラーメイド SPIDER S NAVY SINGLE BEND/オリジナルスチール[34]//3

 

例題:

二次関数 の最大値・最小値を求めよ。

 

解答:

二次関数  のグラフは、 より、軸が直線 x = 2 で頂点が点 (2,3) の上に凸の放物線となります。

グラフからわかるように、この関数は x = 2 のとき最大値 3 をとります

また、y はいくらでも小さな値をとるため、最小値は存在しません

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次に、定義域が制限されている二次関数の最大値・最小値を調べます。

 

例題:

二次関数  において、定義域が次の場合の最大値と最小値を求めよ。

またそのときの x の値を求めよ。

(1)

(2)

 

解答:

与えられた二次関数は と変形できます。

(1) におけるこの関数のグラフは、下図の放物線の緑線部分です。

よって、

x = 3 のとき最大値 13

x = =1 のとき最小値 -3

となります。

 

(2) におけるこの関数のグラフは、下図の放物線の緑線部分です。

よって、

x = 4 のとき最大値 22

x = 2 のとき最小値 6

となります。

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これまでは、二次関数・定義域共に文字を含んでいませんでした。

次は定義域に文字を含む場合の最大値・最小値を考えます。

ここから難易度アップ! じっくり読んでいきましょう。

 

例題:

のとき、二次関数   の最小値を求めよ。

 

解答:

のグラフは、頂点が点 (2, 2) 、軸が直線 x = 2 の下に凸の放物線です。

しかし、a の値によって、 の範囲にグラフの頂点が含まれることもあれば、含まれないこともあるのです。

そこで、a の値によって次のように場合分けしてみましょう。

 

(i)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a のとき最小値  となります。

(ii)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = 2 のとき最小値 2 となります。

 

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のとき x = a で最小値

のとき x = 2 で最小値 2

が答えです。

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次は、定義域ではなく関数自体(特に軸)に文字を含む場合について考えます。

 

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のとき、二次関数    の最小値を求めよ。

 

解答:

のグラフは、頂点が点 (a, 2) 、軸が直線 x = a の下に凸の放物線です。

ただし、a の値によって の範囲に頂点が含まれるか否かが変わります。

そこで、ここでも a の値によって次のように場合分けしましょう。

 

(i)  のとき

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したがって、x = a のとき最小値 2 となります。

(ii)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = 2 のとき最小値  となります。

 

以上より、

のとき x = a で最小値 2

のとき x = 2 で最小値

となります。

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ここまで、二次関数の最大値・最小値について扱ってきました。

まとめとして、次の応用問題に挑戦してみましょう!

 

応用問題:

二次関数 における最大値・最小値と、そのときの x の値を求めよ。

 

解答:

この二次関数は

定義域の始点も終点も定まっていませんが、幅が 2 であることだけは確定しています。

これまでの問題と異なり、複雑な場合分けが必要です。

<最大値>

まずは最大値から考えていきましょう。

(i) a+1 < 2 つまり a < 1 のとき

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したがって、x = a で最大値  をとります。

(ii) a+1 = 2 つまり a = 1 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

区間 の中心 x = a + 1 と二次関数のグラフの軸の方程式 x = 2 が一致しているので、区間の両端で y は同じ値となるのです。

したがって、x = 1, 3 で最大値 3 をとります。

(iii) a+1 > 2 つまり a > 1 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a+2 のとき最大値  をとります。

<最小値>

次に最小値です。

(i) a+2 < 2 つまり a < 0 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a+2 で最小値  をとります。

(ii) つまり  のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

定義域内にグラフの頂点が含まれているので、文句なしでそこが最小点になります。

したがって、x = 2 で最小値 2 をとります。

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したがって、x = a で最小値  をとります。

 

以上をまとめると、応用問題の答えは次のようになります:

<最大値>

  • a < 1 のとき、x = a で最大値
  • a = 1 のとき、x = 1, 3 で最大値 3
  • a > 1 のとき、x = a+2 で最大値

<最小値>

  • a < 0 のとき、x = a+2 で最小値
  •  のとき、x = 2 で最小値 2
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特に重要なポイントを列挙すると次のようになります。

  • 定義域に制限がなくても、最大値・最小値の双方が存在するとは限らない。
  • 定義域に制限がある場合は、「定義域の端点」「頂点」に着目する。
  • 定義域の端点と軸の距離に注意する。

 

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なぜ場合分けをしなければいけないのか。

場合分けの境界値はどうなるのか。

これらに注意して、問題を解いてみてください!

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