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新品 ゼオスキン バランサートナーデイリーPDエクスフォリエーティングクレンザー - by , 2022-08-04
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購入して3日目ですが、効果は現れていると思います。一日目夜初めてつけたときは、伸ばしてもやっと届く程度でサイズが合わないのか・・・とがっかりしました。通勤時につけていこうと思い、次の日の朝つけたら、あれ?もう伸びたのかと思うほどスムーズにつけられました。本日はマジックテープ部分がぴったり重なるくらいまでになりました。これからもがんばって骨盤をキュッとしめてダイエットしたいと思います!
新品未使用!ジョーマローンバスオイルイングリッシュペアー - by , 2022-10-20
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歯をつい強く磨き過ぎてしまうのと、歯と歯の間の汚れが気になるようになり、初めて電動歯ブラシを使ってみることにしました。程よい力で歯間も磨けるようになり、歯もツルツルになって気持ちがいいです。買ってよかったです。
SK-II フェイシャル トリートメント エッセンス 250ml 未使用 - by , 2022-11-03
4/ 5stars
がっちりしてました。が、うちはやっぱり不向きでした。
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少し来るのに時間がかかったかな? 来たばかりなの効果は?
電動セニアカー NOAA モバイルα(アルファ)4輪カート - by , 2022-11-01
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お土産に買っていきました。今、母がお茶を習っているのでお茶菓子にと思い購入しました。 栗きんとんは素朴な甘さで大好評でした!マロングラッセも、甘いけどあっさりしていて確かに「和」を感じました。お茶にちょうど良いお菓子でした。黒文字では食べ難かったんですけどね(^^;
専用セット デイリーPD、バランサートナー、エクスフォリエーティングクレンザー - by , 2022-10-13
5/ 5stars
まだ雨の日に走ってないから耐久性はわからないけど、悪くないと思いますよ。
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無印良品チェスト、オーク材となります。サイズは幅170cm 、奥行45cm、高さ76cmです。脚はありません。写真を見ていただけるとわかります通り、状態はかなり良いです。一番左は扉タイプの収納となります。よろしくお願いします。
カテゴリー:インテリア・住まい・小物>>>収納家具>>>棚/ラック
商品の状態:目立った傷や汚れなし
ブランド:無印良品
:オレンジ系
配送料の負担:送料込み(出品者負担)
配送の方法:梱包・発送たのメル便
発送元の地域:東京都
発送までの日数:4~7日で発送

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数学 I の山場である二次関数。

特に最大値・最小値の問題は難しいですよね。

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学校の授業や定期試験でつまづいてしまった人、試験ではなんとかなったけれど忘れちゃった人…

二次関数をこれから勉強する人・勉強した人、全員必見です!

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まずは、定義域に全く制限がない二次関数の最大値・最小値を見ていきます。

 

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二次関数  の最大値・最小値を求めよ。

 

解答:

二次関数  のグラフは、 より、軸が直線 x = -1 で頂点が点 (-1, 2) の下に凸の放物線となります。

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また、y はいくらでも大きな値をとるため、【新品】【送料無料】古木風のスタンドミラー ナチュラル

 

例題:

二次関数 の最大値・最小値を求めよ。

 

解答:

二次関数  のグラフは、 より、軸が直線 x = 2 で頂点が点 (2,3) の上に凸の放物線となります。

グラフからわかるように、この関数は x = 2 のとき最大値 3 をとります

また、y はいくらでも小さな値をとるため、最小値は存在しません

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次に、定義域が制限されている二次関数の最大値・最小値を調べます。

 

例題:

二次関数  において、定義域が次の場合の最大値と最小値を求めよ。

またそのときの x の値を求めよ。

(1)

(2)

 

解答:

与えられた二次関数は と変形できます。

(1) におけるこの関数のグラフは、下図の放物線の緑線部分です。

よって、

x = 3 のとき最大値 13

x = =1 のとき最小値 -3

となります。

 

(2) におけるこの関数のグラフは、下図の放物線の緑線部分です。

よって、

x = 4 のとき最大値 22

x = 2 のとき最小値 6

となります。

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これまでは、二次関数・定義域共に文字を含んでいませんでした。

次は定義域に文字を含む場合の最大値・最小値を考えます。

ここから難易度アップ! じっくり読んでいきましょう。

 

例題:

のとき、二次関数   の最小値を求めよ。

 

解答:

のグラフは、頂点が点 (2, 2) 、軸が直線 x = 2 の下に凸の放物線です。

しかし、a の値によって、 の範囲にグラフの頂点が含まれることもあれば、含まれないこともあるのです。

そこで、a の値によって次のように場合分けしてみましょう。

 

(i)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a のとき最小値  となります。

(ii)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = 2 のとき最小値 2 となります。

 

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のとき x = a で最小値

のとき x = 2 で最小値 2

が答えです。

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次は、定義域ではなく関数自体(特に軸)に文字を含む場合について考えます。

 

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のとき、二次関数    の最小値を求めよ。

 

解答:

のグラフは、頂点が点 (a, 2) 、軸が直線 x = a の下に凸の放物線です。

ただし、a の値によって の範囲に頂点が含まれるか否かが変わります。

そこで、ここでも a の値によって次のように場合分けしましょう。

 

(i)  のとき

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したがって、x = a のとき最小値 2 となります。

(ii)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = 2 のとき最小値  となります。

 

以上より、

のとき x = a で最小値 2

のとき x = 2 で最小値

となります。

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ここまで、二次関数の最大値・最小値について扱ってきました。

まとめとして、次の応用問題に挑戦してみましょう!

 

応用問題:

二次関数 における最大値・最小値と、そのときの x の値を求めよ。

 

解答:

この二次関数は

定義域の始点も終点も定まっていませんが、幅が 2 であることだけは確定しています。

これまでの問題と異なり、複雑な場合分けが必要です。

<最大値>

まずは最大値から考えていきましょう。

(i) a+1 < 2 つまり a < 1 のとき

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したがって、x = a で最大値  をとります。

(ii) a+1 = 2 つまり a = 1 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

区間 の中心 x = a + 1 と二次関数のグラフの軸の方程式 x = 2 が一致しているので、区間の両端で y は同じ値となるのです。

したがって、x = 1, 3 で最大値 3 をとります。

(iii) a+1 > 2 つまり a > 1 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a+2 のとき最大値  をとります。

<最小値>

次に最小値です。

(i) a+2 < 2 つまり a < 0 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a+2 で最小値  をとります。

(ii) つまり  のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

定義域内にグラフの頂点が含まれているので、文句なしでそこが最小点になります。

したがって、x = 2 で最小値 2 をとります。

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したがって、x = a で最小値  をとります。

 

以上をまとめると、応用問題の答えは次のようになります:

<最大値>

  • a < 1 のとき、x = a で最大値
  • a = 1 のとき、x = 1, 3 で最大値 3
  • a > 1 のとき、x = a+2 で最大値

<最小値>

  • a < 0 のとき、x = a+2 で最小値
  •  のとき、x = 2 で最小値 2
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特に重要なポイントを列挙すると次のようになります。

  • 定義域に制限がなくても、最大値・最小値の双方が存在するとは限らない。
  • 定義域に制限がある場合は、「定義域の端点」「頂点」に着目する。
  • 定義域の端点と軸の距離に注意する。

 

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