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聴診器 ダブル - by , 2022-08-04
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シーズンオフに近づいてから使い始めたので数回しか使用してませんが、劇的に変化したという感じはなかったですね。 自分の技術や年齢的なものとかもあるかと思いますが… →翌シーズンになりとても好調になり、我がチームに中敷きブームが来そうな予感です。
②送料込 ケアメディックス ケアスロープ 2M 200cm 高圧洗浄済 - by , 2022-10-20
5/ 5stars
クリスマスプレゼント用に購入。子供の喜ぶ顔が早く見たいです。
ディオール サンククルールクチュール 609 シルクアース 新品 - by , 2022-11-03
4/ 5stars
普通の三ツ矢サイダーより飲みやすく、もう10ケース以上リピートしています。炭酸嫌いだった私、炭酸好きの夫、高齢の母、甥っ子姪っ子、みんなレモラが大好き。次回もこちらで購入予定です。
自任堂 空美酵素 - by , 2022-10-27
5/ 5stars
ちょっと可愛すぎました・・。小学生の姪っ子にあげちゃいました。
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4/ 5stars
主人の薄毛予防の為、今までスカルプ○やモンゴ○ューを使用してましたが こちらの方が値段が安いので、購入してみました。 私は、使用後の香りが良いのでお気に入りですが 使っている本人は、爽快感がなく普通の物と同じ感じで 効いてる感が無いと不評でした。
フクダ電子 ダイナスコープ用送受信機 LX-8300 - by , 2022-10-13
5/ 5stars
近所のホームセンターでは90cm以上の高さのがなかったので見つかってよかったです。欲をいえば幅90cmのものがほしかったですが、水周りがすっきりしたので満足です。
パットマクグラス アイシャドウ - by , 2022-10-30
4/ 5stars
何回目でしょうか?リピートしまくっております。値段品質ほんとにピカイチです。500mlのペットボトルがやはり飲みやすいです。
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5/ 5stars
冨士宏さんの大ファンです。てか、これもしかしたら重版かからないかもしれんから紙で現物を手元に残したい方は是非とも購入すべき。2巻を出して頂け無いかもしれんから…
レオ様 専用 - by , 2022-10-28
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今回3回目の購入です。 それまで色んなオールインワンを使ったのですが、以前のオールインワンは、1つだけでは物足りなくて結局化粧水を加えて使っていましたが、これだと本当にこれ1つで十分なので気に入ってます。 実家の母が使用してる物がなくなりそうと言っていたので、今回は母へのプレゼント用に購入しました。 帰省中の注文だったのですがすぐに届けて頂いて、母もとても満足していました。 大容量なのでたっぷり使えるところも気に入ってます(⌒▽⌒) 今回金額も安くなっていたので、まだ残ってますが私用にも注文しようかと思ってます。
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数学 I の山場である二次関数。

特に最大値・最小値の問題は難しいですよね。

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学校の授業や定期試験でつまづいてしまった人、試験ではなんとかなったけれど忘れちゃった人…

二次関数をこれから勉強する人・勉強した人、全員必見です!

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まずは、定義域に全く制限がない二次関数の最大値・最小値を見ていきます。

 

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二次関数  の最大値・最小値を求めよ。

 

解答:

二次関数  のグラフは、 より、軸が直線 x = -1 で頂点が点 (-1, 2) の下に凸の放物線となります。

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また、y はいくらでも大きな値をとるため、アンティーク ホーロー缶 CAKES ケーキ シェルリッド

 

例題:

二次関数 の最大値・最小値を求めよ。

 

解答:

二次関数  のグラフは、 より、軸が直線 x = 2 で頂点が点 (2,3) の上に凸の放物線となります。

グラフからわかるように、この関数は x = 2 のとき最大値 3 をとります

また、y はいくらでも小さな値をとるため、最小値は存在しません

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次に、定義域が制限されている二次関数の最大値・最小値を調べます。

 

例題:

二次関数  において、定義域が次の場合の最大値と最小値を求めよ。

またそのときの x の値を求めよ。

(1)

(2)

 

解答:

与えられた二次関数は と変形できます。

(1) におけるこの関数のグラフは、下図の放物線の緑線部分です。

よって、

x = 3 のとき最大値 13

x = =1 のとき最小値 -3

となります。

 

(2) におけるこの関数のグラフは、下図の放物線の緑線部分です。

よって、

x = 4 のとき最大値 22

x = 2 のとき最小値 6

となります。

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これまでは、二次関数・定義域共に文字を含んでいませんでした。

次は定義域に文字を含む場合の最大値・最小値を考えます。

ここから難易度アップ! じっくり読んでいきましょう。

 

例題:

のとき、二次関数   の最小値を求めよ。

 

解答:

のグラフは、頂点が点 (2, 2) 、軸が直線 x = 2 の下に凸の放物線です。

しかし、a の値によって、 の範囲にグラフの頂点が含まれることもあれば、含まれないこともあるのです。

そこで、a の値によって次のように場合分けしてみましょう。

 

(i)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a のとき最小値  となります。

(ii)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = 2 のとき最小値 2 となります。

 

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のとき x = a で最小値

のとき x = 2 で最小値 2

が答えです。

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次は、定義域ではなく関数自体(特に軸)に文字を含む場合について考えます。

 

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のとき、二次関数    の最小値を求めよ。

 

解答:

のグラフは、頂点が点 (a, 2) 、軸が直線 x = a の下に凸の放物線です。

ただし、a の値によって の範囲に頂点が含まれるか否かが変わります。

そこで、ここでも a の値によって次のように場合分けしましょう。

 

(i)  のとき

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したがって、x = a のとき最小値 2 となります。

(ii)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = 2 のとき最小値  となります。

 

以上より、

のとき x = a で最小値 2

のとき x = 2 で最小値

となります。

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ここまで、二次関数の最大値・最小値について扱ってきました。

まとめとして、次の応用問題に挑戦してみましょう!

 

応用問題:

二次関数 における最大値・最小値と、そのときの x の値を求めよ。

 

解答:

この二次関数は

定義域の始点も終点も定まっていませんが、幅が 2 であることだけは確定しています。

これまでの問題と異なり、複雑な場合分けが必要です。

<最大値>

まずは最大値から考えていきましょう。

(i) a+1 < 2 つまり a < 1 のとき

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したがって、x = a で最大値  をとります。

(ii) a+1 = 2 つまり a = 1 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

区間 の中心 x = a + 1 と二次関数のグラフの軸の方程式 x = 2 が一致しているので、区間の両端で y は同じ値となるのです。

したがって、x = 1, 3 で最大値 3 をとります。

(iii) a+1 > 2 つまり a > 1 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a+2 のとき最大値  をとります。

<最小値>

次に最小値です。

(i) a+2 < 2 つまり a < 0 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a+2 で最小値  をとります。

(ii) つまり  のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

定義域内にグラフの頂点が含まれているので、文句なしでそこが最小点になります。

したがって、x = 2 で最小値 2 をとります。

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したがって、x = a で最小値  をとります。

 

以上をまとめると、応用問題の答えは次のようになります:

<最大値>

  • a < 1 のとき、x = a で最大値
  • a = 1 のとき、x = 1, 3 で最大値 3
  • a > 1 のとき、x = a+2 で最大値

<最小値>

  • a < 0 のとき、x = a+2 で最小値
  •  のとき、x = 2 で最小値 2
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特に重要なポイントを列挙すると次のようになります。

  • 定義域に制限がなくても、最大値・最小値の双方が存在するとは限らない。
  • 定義域に制限がある場合は、「定義域の端点」「頂点」に着目する。
  • 定義域の端点と軸の距離に注意する。

 

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なぜ場合分けをしなければいけないのか。

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