人気の贈り物が大集合
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mamy様 専用 - by , 2022-08-04
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首のだるさに、肩こりにと試しに買って見ました。磁気のよりも私には合うような気がします
ゼオスキン【デイリーPD2本セット】 - by , 2022-10-20
5/ 5stars
最高に気に入ってます。デザイン&色&はき心地!
トムフォードビューティ アイカラークォード エクストリーム X1 メタルラスト - by , 2022-11-03
5/ 5stars
原付以外のバイクにも対応。色は綺麗なワインレッドで走るのが楽しみになりそうです。値段以上の価値あり。
新品 未使用 ogshi おぐし サプリ 3個セット - by , 2022-10-27
2/ 5stars
シュー皮はクッキー感はない。クリームはボリュームがあり甘さ控えめだがとろける感じではない。大きさはコンビニのシュー程度。冷凍なため、シュー皮はしっとりでした。 ネット購入はおすすめしません。
コスメ バラ売り まとめ売り - by , 2022-11-01
5/ 5stars
付属の電池がすぐに切れてしまいました。 見た目もちょっと安っぽいので、トイレに置くことにしました。
銀座まるかん ちょう龍 - by , 2022-10-13
5/ 5stars
やっと国内発売したので購入しましたが製造年は2013。もっと早く国内導入出来なかったの?Mさん。ただ、フロントタイヤの段減りは他社よりも良さそうなので期待してます。
セルノート サプリメント 2袋 - by , 2022-10-30
5/ 5stars
義父へのプレゼント。おかず系もデザート系もあり、喜ばれました。
ヴィワンアークス スピライズ SPIRISE リフトストレッチャーバーム - by , 2022-09-29
5/ 5stars
届くのを凄く楽しみにしてました。 カレー用・スープ用・ケーキ用があればと記入したら ほぼ希望通りのものが届き、とても感謝してます。 その中でもケーキ用のお皿は周りが可愛らしく穴の開いたデザインで とても素敵で気に入りました。 4人分購入したので、来客時のおもてなしに利用したいと思います。
【新品未開封】ゼロファクターリムーバークリーム 2個 - by , 2022-10-28
5/ 5stars
すごく可愛いです、生地もよいものです。 7歳長男にLサイズを3枚買いましたが、次男がとても気に入り、1枚だけ譲ってもらっていました。 サイズが合うまで大事にとっておくそうです。
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ご覧いただきありがとうございますm(_ _)mマッドテレーンタイヤの出品です。ガリ傷はありません。保管時に擦れたような跡はありますが、顔を近づけなければ分かりません。タイヤも2020年以降製造で、ひび割れ等はなく、まだまだ使っていただけます。素人採寸ですが、溝は9ミリ程度です。サイズは225/75R16です。定価は某通販サイトでは130,000〜150,000くらいです。かなりお買い得な料金設定となります。オフセットは35 PCDは114.3です。エクストレイルやRAV4、デリカがフィッティングするかと思います。フィッティングに関しては購入者様でご確認下さいさい。送料は別でお願いします。込みにはしません。ご了承ください。
カテゴリー:自動車・オートバイ>>>自動車タイヤ/ホイール>>>タイヤ/ホイールセット
商品の状態:目立った傷や汚れなし
商品のサイズ:16インチ
配送料の負担:着払い(購入者負担)
配送の方法:未定
発送元の地域:未定
発送までの日数:4~7日で発送

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数学 I の山場である二次関数。

特に最大値・最小値の問題は難しいですよね。

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まずは、定義域に全く制限がない二次関数の最大値・最小値を見ていきます。

 

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二次関数  の最大値・最小値を求めよ。

 

解答:

二次関数  のグラフは、 より、軸が直線 x = -1 で頂点が点 (-1, 2) の下に凸の放物線となります。

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例題:

二次関数 の最大値・最小値を求めよ。

 

解答:

二次関数  のグラフは、 より、軸が直線 x = 2 で頂点が点 (2,3) の上に凸の放物線となります。

グラフからわかるように、この関数は x = 2 のとき最大値 3 をとります

また、y はいくらでも小さな値をとるため、最小値は存在しません

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次に、定義域が制限されている二次関数の最大値・最小値を調べます。

 

例題:

二次関数  において、定義域が次の場合の最大値と最小値を求めよ。

またそのときの x の値を求めよ。

(1)

(2)

 

解答:

与えられた二次関数は と変形できます。

(1) におけるこの関数のグラフは、下図の放物線の緑線部分です。

よって、

x = 3 のとき最大値 13

x = =1 のとき最小値 -3

となります。

 

(2) におけるこの関数のグラフは、下図の放物線の緑線部分です。

よって、

x = 4 のとき最大値 22

x = 2 のとき最小値 6

となります。

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これまでは、二次関数・定義域共に文字を含んでいませんでした。

次は定義域に文字を含む場合の最大値・最小値を考えます。

ここから難易度アップ! じっくり読んでいきましょう。

 

例題:

のとき、二次関数   の最小値を求めよ。

 

解答:

のグラフは、頂点が点 (2, 2) 、軸が直線 x = 2 の下に凸の放物線です。

しかし、a の値によって、 の範囲にグラフの頂点が含まれることもあれば、含まれないこともあるのです。

そこで、a の値によって次のように場合分けしてみましょう。

 

(i)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a のとき最小値  となります。

(ii)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = 2 のとき最小値 2 となります。

 

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のとき x = a で最小値

のとき x = 2 で最小値 2

が答えです。

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次は、定義域ではなく関数自体(特に軸)に文字を含む場合について考えます。

 

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のとき、二次関数    の最小値を求めよ。

 

解答:

のグラフは、頂点が点 (a, 2) 、軸が直線 x = a の下に凸の放物線です。

ただし、a の値によって の範囲に頂点が含まれるか否かが変わります。

そこで、ここでも a の値によって次のように場合分けしましょう。

 

(i)  のとき

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したがって、x = a のとき最小値 2 となります。

(ii)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = 2 のとき最小値  となります。

 

以上より、

のとき x = a で最小値 2

のとき x = 2 で最小値

となります。

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ここまで、二次関数の最大値・最小値について扱ってきました。

まとめとして、次の応用問題に挑戦してみましょう!

 

応用問題:

二次関数 における最大値・最小値と、そのときの x の値を求めよ。

 

解答:

この二次関数は

定義域の始点も終点も定まっていませんが、幅が 2 であることだけは確定しています。

これまでの問題と異なり、複雑な場合分けが必要です。

<最大値>

まずは最大値から考えていきましょう。

(i) a+1 < 2 つまり a < 1 のとき

このとき、16インチ Standing Stunningスパンコールサンタクロースクリスマス置物図装飾16722 Windy Hill Collection

したがって、x = a で最大値  をとります。

(ii) a+1 = 2 つまり a = 1 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

区間 の中心 x = a + 1 と二次関数のグラフの軸の方程式 x = 2 が一致しているので、区間の両端で y は同じ値となるのです。

したがって、x = 1, 3 で最大値 3 をとります。

(iii) a+1 > 2 つまり a > 1 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a+2 のとき最大値  をとります。

<最小値>

次に最小値です。

(i) a+2 < 2 つまり a < 0 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a+2 で最小値  をとります。

(ii) つまり  のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

定義域内にグラフの頂点が含まれているので、文句なしでそこが最小点になります。

したがって、x = 2 で最小値 2 をとります。

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したがって、x = a で最小値  をとります。

 

以上をまとめると、応用問題の答えは次のようになります:

<最大値>

  • a < 1 のとき、x = a で最大値
  • a = 1 のとき、x = 1, 3 で最大値 3
  • a > 1 のとき、x = a+2 で最大値

<最小値>

  • a < 0 のとき、x = a+2 で最小値
  •  のとき、x = 2 で最小値 2
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特に重要なポイントを列挙すると次のようになります。

  • 定義域に制限がなくても、最大値・最小値の双方が存在するとは限らない。
  • 定義域に制限がある場合は、「定義域の端点」「頂点」に着目する。
  • 定義域の端点と軸の距離に注意する。

 

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なぜ場合分けをしなければいけないのか。

場合分けの境界値はどうなるのか。

これらに注意して、問題を解いてみてください!

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