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エバメールゲルクリーム 500g 詰替×2個セット - by , 2022-08-04
4/ 5stars
美容室でシャンプーしてもらったとき使って以来、ずっと気になっていたオージュア!抜け毛が気になったので、グロウシブを買いました! 入手しにくいため、到着までは少々時間かかりますが、包装も発想もとても丁寧で、満足★ 早速使ってみたら、頭皮の汚れがスッキリ落とした感じで、朝起きた時枕に落ちた髪の毛の量が少なくなった気がします。 今後も様子見しつつコメントを更新したいです。
水素水生成器 H3OカップⅡ - by , 2022-10-20
5/ 5stars
整備、清掃がしっかりとされていてよかったです。 対応もご丁寧で安心でした。 強いて言うならば当初の予定より、ご注文が込み合っていて発送が遅れると言う事で、到着予定日より遅れるという連絡を頂けたのはよかったですが、さらに遅れそうな場合は先にご連絡をいただきたかったという気持ちから星4つとさせていただきました。 また、こちらのショップさんを利用したいと思います。
KILLER BURNER キラーバーナー 倖田來未 - by , 2022-11-03
4/ 5stars
はじめて巻取リード使いました。 4キロのダックス。ロックせずに遠くに行ったり近づいたりでかなり気に入ってるようです。
【未使用新品】ReFa CARAT RAY 美顔ローラー - by , 2022-10-27
5/ 5stars
普通にどこにでもあるトースターです。使いやすいです
アラミックシルキーナノバブルシャワー ジャパネット - by , 2022-11-01
3/ 5stars
11月下旬に購入し、レビューが遅くなりました。「ざらめのこわれせん」を探していたら、この商品を発見し、リピートした次第。元の煎餅も美味しいのに、ハンパないざらめの量が、インパクトがあって良い。「こわれ」でも「こわれかけ」でもない、ざらめをかけすぎた煎餅が、相当な期間、堪能出来ます。
NMN358 グラントイーワンズ ★2個セット★ - by , 2022-10-13
5/ 5stars
宇宙柄を選んびました。 柄は確かに可愛いんですが、色が薄いので安く見えます。
新品未開封 アムウェイ ニュートリライトプロバイオプラス1箱90本 - by , 2022-10-30
4/ 5stars
送料無料になるためには4キロ。1か月でうまく食べきるよう献立考えます。ご近所さんにおいしかったら声かけてみようと思います。
サニーナ 400ml 6本セット - by , 2022-09-29
5/ 5stars
ベランダの目隠し壁に挟み込んで使用。 挟み込む際、パッド部分がベランダ壁のエッジに当たる為、別途ホームセンターにて20mm厚のゴムを購入して、挟む事によりクリアしました。
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マイケルコースの華やかで素敵なリアルレザー、オールレザーバッグです。大人っぽく華やかな、ゴールドのスタッズで花模様が描かれた、手の込んだ上質なバッグです。使いやすいサイズで、パーティからカジュアルまで幅広くコーディネートできる素敵なバッグです。ショルダーベルトをつけてショルダーバッグとしてお使いいただいても、ちょうどいいサイズです。ショルダーベルトをつけず、パーティ結婚式やフォーマルな装いにもぴったりな、華やかなバッグです。ブラックレザーがシックな風合いですので、華やかなゴールドのスタッズ飾られても、華やかな中にもシックで上品な雰囲気です。傷や汚れのつきにくい加工がしてありますので、傷や使用感も気になることなく末永くお使いいただけます。サイズは、幅: 28.0cm高さ: 20.0cmマチ: 10.0cmです。定価は7万円程する商品です。新品タグ付きでとてもきれいなお品物です。
カテゴリー:レディース>>>バッグ>>>ハンドバッグ
商品の状態:新品、未使用
ブランド:マイケル コース
:ブラック系
配送料の負担:送料込み(出品者負担)
配送の方法:らくらくメルカリ便
発送元の地域:広島県
発送までの日数:1~2日で発送

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数学 I の山場である二次関数。

特に最大値・最小値の問題は難しいですよね。

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学校の授業や定期試験でつまづいてしまった人、試験ではなんとかなったけれど忘れちゃった人…

二次関数をこれから勉強する人・勉強した人、全員必見です!

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まずは、定義域に全く制限がない二次関数の最大値・最小値を見ていきます。

 

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二次関数  の最大値・最小値を求めよ。

 

解答:

二次関数  のグラフは、 より、軸が直線 x = -1 で頂点が点 (-1, 2) の下に凸の放物線となります。

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例題:

二次関数 の最大値・最小値を求めよ。

 

解答:

二次関数  のグラフは、 より、軸が直線 x = 2 で頂点が点 (2,3) の上に凸の放物線となります。

グラフからわかるように、この関数は x = 2 のとき最大値 3 をとります

また、y はいくらでも小さな値をとるため、最小値は存在しません

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次に、定義域が制限されている二次関数の最大値・最小値を調べます。

 

例題:

二次関数  において、定義域が次の場合の最大値と最小値を求めよ。

またそのときの x の値を求めよ。

(1)

(2)

 

解答:

与えられた二次関数は と変形できます。

(1) におけるこの関数のグラフは、下図の放物線の緑線部分です。

よって、

x = 3 のとき最大値 13

x = =1 のとき最小値 -3

となります。

 

(2) におけるこの関数のグラフは、下図の放物線の緑線部分です。

よって、

x = 4 のとき最大値 22

x = 2 のとき最小値 6

となります。

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これまでは、二次関数・定義域共に文字を含んでいませんでした。

次は定義域に文字を含む場合の最大値・最小値を考えます。

ここから難易度アップ! じっくり読んでいきましょう。

 

例題:

のとき、二次関数   の最小値を求めよ。

 

解答:

のグラフは、頂点が点 (2, 2) 、軸が直線 x = 2 の下に凸の放物線です。

しかし、a の値によって、 の範囲にグラフの頂点が含まれることもあれば、含まれないこともあるのです。

そこで、a の値によって次のように場合分けしてみましょう。

 

(i)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a のとき最小値  となります。

(ii)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = 2 のとき最小値 2 となります。

 

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のとき x = a で最小値

のとき x = 2 で最小値 2

が答えです。

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次は、定義域ではなく関数自体(特に軸)に文字を含む場合について考えます。

 

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のとき、二次関数    の最小値を求めよ。

 

解答:

のグラフは、頂点が点 (a, 2) 、軸が直線 x = a の下に凸の放物線です。

ただし、a の値によって の範囲に頂点が含まれるか否かが変わります。

そこで、ここでも a の値によって次のように場合分けしましょう。

 

(i)  のとき

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したがって、x = a のとき最小値 2 となります。

(ii)  のとき

におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = 2 のとき最小値  となります。

 

以上より、

のとき x = a で最小値 2

のとき x = 2 で最小値

となります。

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ここまで、二次関数の最大値・最小値について扱ってきました。

まとめとして、次の応用問題に挑戦してみましょう!

 

応用問題:

二次関数 における最大値・最小値と、そのときの x の値を求めよ。

 

解答:

この二次関数は

定義域の始点も終点も定まっていませんが、幅が 2 であることだけは確定しています。

これまでの問題と異なり、複雑な場合分けが必要です。

<最大値>

まずは最大値から考えていきましょう。

(i) a+1 < 2 つまり a < 1 のとき

このとき、図書カード 大島麻衣 ヤングアニマル 図書カード500 カードショップトレジャー

したがって、x = a で最大値  をとります。

(ii) a+1 = 2 つまり a = 1 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

区間 の中心 x = a + 1 と二次関数のグラフの軸の方程式 x = 2 が一致しているので、区間の両端で y は同じ値となるのです。

したがって、x = 1, 3 で最大値 3 をとります。

(iii) a+1 > 2 つまり a > 1 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a+2 のとき最大値  をとります。

<最小値>

次に最小値です。

(i) a+2 < 2 つまり a < 0 のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

したがって、x = a+2 で最小値  をとります。

(ii) つまり  のとき

このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。

定義域内にグラフの頂点が含まれているので、文句なしでそこが最小点になります。

したがって、x = 2 で最小値 2 をとります。

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したがって、x = a で最小値  をとります。

 

以上をまとめると、応用問題の答えは次のようになります:

<最大値>

  • a < 1 のとき、x = a で最大値
  • a = 1 のとき、x = 1, 3 で最大値 3
  • a > 1 のとき、x = a+2 で最大値

<最小値>

  • a < 0 のとき、x = a+2 で最小値
  •  のとき、x = 2 で最小値 2
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特に重要なポイントを列挙すると次のようになります。

  • 定義域に制限がなくても、最大値・最小値の双方が存在するとは限らない。
  • 定義域に制限がある場合は、「定義域の端点」「頂点」に着目する。
  • 定義域の端点と軸の距離に注意する。

 

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なぜ場合分けをしなければいけないのか。

場合分けの境界値はどうなるのか。

これらに注意して、問題を解いてみてください!

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